금리와 복리

이자는 시간의 가격이다

친구가 100만원을 빌려 달라며 1년 뒤에 딱 100만원을 갚겠다고 한다. 친구를 믿더라도 대부분 조금은 망설인다. 이유는 세 가지다. 첫째, 1년 동안 그 돈을 내가 쓸 수 없다(기다림). 둘째, 못 돌려받을 수도 있다(위험). 셋째, 1년 뒤의 100만원은 지금보다 물건을 덜 산다(3장의 물가). 이 세 가지에 매긴 값이 이자(Interest)다. 원금에 대해 1년에 이자를 얼마 주는지를 비율로 나타낸 것이 금리(Interest rate), 곧 이자율이다.

빌리는 쪽에서 보면 이자는 남의 돈을 지금 당겨 쓰는 사용료다. 집을 빌리면 월세를 내듯 돈을 빌리면 이자를 낸다. 은행 예금도 같은 구조다. 예금자는 은행에 돈을 빌려주고, 은행은 그 돈을 다시 대출로 내보낸다(2장). 그래서 예금 이자는 내가 받는 사용료이고, 대출 이자는 내가 내는 사용료다.

금리를 정하면 서로 다른 시점의 돈을 하나의 저울에 올릴 수 있다. 연 5%라면 오늘의 100만원은 1년 뒤의 105만원과 값이 같다. 거꾸로 1년 뒤의 105만원은 오늘의 100만원과 같다. 오른쪽으로 가는 계산이 복리이고, 왼쪽으로 오는 계산이 할인이다. 이 장 전체가 이 두 화살표 이야기다.

단리와 복리: 이자 위의 이자

이자를 붙이는 방법은 두 가지다. 단리(Simple interest)는 처음 넣은 원금에만 이자를 준다. 복리(Compound interest)는 지난번에 받은 이자를 원금에 합친 뒤 그 합계에 다시 이자를 준다. 이자가 이자를 낳는 셈이다.

100만원을 연 8%로 맡기면 첫해에는 둘 다 8만원을 받는다. 둘째 해에 단리는 다시 8만원이지만, 복리는 108만원의 8%인 8만 6,400원이다. 늘어난 6,400원이 이자 위의 이자다. 처음에는 동전 한 닢도 안 되는 부스러기다. 아래 탑에서 이 부스러기가 해마다 어떻게 자라는지 본다. 먼저 재생을 눌러 탑이 쌓이는 것을 보고, 그다음 이율을 올리거나 기간을 30년으로 늘려 본다.

8%로 20년이면 단리 탑은 260만원, 복리 탑은 약 466만원이다. 차이 206만원이 전부 이자 위의 이자다. 원금이 낳은 이자(160만원)보다 이자가 낳은 이자가 더 커졌다. 두 탑을 식으로 쓰면 이렇다.

단리는 \(n\)에 비례해서 더해지고, 복리는 \(n\)제곱으로 곱해진다. 더하기는 직선을 만들고 곱하기는 휘어 올라가는 곡선을 만든다. 1,000만원을 연 5%로 30년 두면 단리는 2,500만원, 복리는 약 4,322만원이다. 금리는 같은데 결과는 1,800만원 넘게 차이 난다.

복리 곡선은 끝에서 갑자기 치솟는 것처럼 보인다. 정말로 어느 순간 무언가가 달라지는 걸까? 아래 그래프에서 눈금을 선형과 로그로 바꿔 본다. 세로선을 끌면 그 해의 금액을 읽을 수 있다.

로그 눈금에서는 같은 높이를 오를 때마다 같은 배수만큼 커진다. 복리는 해마다 같은 비율로 자라므로 로그 눈금에서 곧은 직선이 된다. 선형 눈금에서 끝이 치솟아 보이는 것은 같은 비율의 성장이 큰 금액 위에서 일어나기 때문이지, 마지막 해에 특별한 일이 생겨서가 아니다. 그래서 수십 년짜리 주가 지수나 경제 규모 그래프는 흔히 로그 눈금으로 그린다.

72의 법칙: 돈이 두 배가 되는 시간

복리의 속도를 머릿속에서 재는 가장 쉬운 방법은 '두 배가 되는 데 몇 년 걸리나'를 묻는 것이다. 답은 72의 법칙(Rule of 72)으로 어림한다. 72를 연 이율(%)로 나누면 된다. 연 6%면 72 ÷ 6 = 12년, 연 9%면 8년이다. 3장에서는 같은 방법으로 물가가 두 배가 되는 기간을 쟀다.

아래 그래프의 점을 좌우로 끌어 이율을 바꿔 본다. 녹색은 정확한 값, 금색 점선은 72 ÷ 이율이다.

두 배가 되는 기간을 알면 장기 결과를 암산할 수 있다. 연 8%로 36년이면 9년마다 두 배씩 네 번, 곧 16배다. 연 4%면 같은 36년에 두 번, 4배다. 이율이 두 배면 결과는 두 배가 아니라 제곱이 된다. 이율 차이가 작아 보여도 긴 시간 위에서는 결과가 크게 벌어진다.

복리 주기: 표시 이율과 실효 이율

지금까지는 이자를 1년에 한 번 붙였다. 실제로는 이자를 매달, 매일 붙이기도 한다. 표시된 금리가 연 12%인데 이자를 매달 붙이면 한 달에 1%씩 붙고, 그 1%가 다음 달부터 다시 이자를 낳는다. 그래서 1년 뒤에는 12%가 아니라 약 12.68%가 불어난다.

광고나 계약서에 적힌 연 이율을 표시 이율(APR, Annual Percentage Rate), 복리 주기까지 반영해 1년 동안 실제로 불어나는 비율을 실효 이율(APY, Annual Percentage Yield)이라 한다. 같은 표시 이율이라도 이자를 자주 붙일수록 실효 이율이 높다. 아래에서 주기를 바꿔 계단의 모양을 본다.

표시 5%에서 연 1회와 매일의 차이는 0.13%p다. 복리 주기보다 금리 자체와 기간이 훨씬 중요하다. 다만 금리가 높을 때는 차이가 커진다. 카드 리볼빙처럼 연 18%를 매달 1.5%씩 복리로 붙이면 실효 이율은 약 19.56%다. 숫자를 비교할 때는 둘이 같은 기준인지부터 확인한다. 예금은 높아 보이는 숫자를, 대출은 낮아 보이는 숫자를 앞세우기 쉽다.

주기를 끝없이 잘게 쪼개면 어떻게 될까? 1년에 100% 이자를 한 번에 붙이면 2배다. 반년에 50%씩 두 번이면 2.25배, 매달 \(100/12\)%씩이면 약 2.613배다. 계속 쪼개면 무한히 커질 것 같지만 그렇지 않다. 아래 점을 오른쪽으로 끌어 \(n\)을 1에서 1,000까지 늘려 본다.

배수는 2.71828…에 붙어서 더 오르지 않는다. 이 수가 자연상수 e다. 이자를 끊임없이 붙이는 것을 연속 복리(Continuous compounding)라 하고, 원금 \(P\)는 \(t\)년 뒤 \(P\,e^{rt}\)가 된다. 연 5% 연속 복리의 실효 이율은 \(e^{0.05}-1 \approx 5.127\%\)이다. 금융 이론에서 연속 복리를 즐겨 쓰는 이유는 계산이 깔끔해서이고, 실제 돈의 차이는 위 표에서 본 것처럼 작다.

현재가치: 미래의 돈을 오늘로 데려오기

복리 화살표를 거꾸로 돌리면 "미래의 돈은 지금 얼마짜리인가"라는 질문이 된다. 미래의 돈을 오늘 값으로 바꾸는 것을 할인(Discounting)이라 하고, 그 결과를 현재가치(PV, Present Value), 할인에 쓰는 이율을 할인율(Discount rate)이라 한다. 복리 식을 \(PV\)에 대해 풀면 된다.

할인율은 '이 돈을 지금 받았다면 다른 데서 얼마를 벌 수 있었나', 곧 기회비용이다. 아래 그래프의 점을 끌어 받는 시점을 미루고, 할인율을 바꿔 본다. 10년 뒤의 1억원은 지금 얼마일까?

할인율이 높을수록 미래의 돈은 싸게 보인다. 다른 데서 높은 수익을 기대할 수 있는 사람, 지금 돈이 급한 사람에게는 미래의 돈이 덜 매력적이다. 같은 제안도 사람마다 값이 다른 이유다.

지금 100만원, 아니면 나중에 더 많이?

"지금 100만원을 받을래, 5년 뒤 130만원을 받을래?" 30%를 더 준다니 기다리는 편이 좋아 보인다. 하지만 기간이 빠진 퍼센트는 의미가 없다. 두 흐름을 같게 만드는 할인율을 내부수익률(IRR, Internal Rate of Return)이라 한다. 5년 뒤 130만원의 내부수익률은 \(1.3^{1/5}-1 \approx 5.39\%\)다. 내가 다른 데서 이보다 높은 수익을 확실히 얻을 수 있으면 지금 받는 편이 낫고, 그렇지 않으면 기다리는 편이 낫다.

아래 게임에서 먼저 '내 기준 수익률'을 정한다. 지금 그 돈을 다른 곳에 두었을 때 기대하는 연 수익률이다. 그다음 제안마다 지금 받을지 기다릴지 고른다.

"20년 뒤 250만원"처럼 금액이 크게 불어나는 제안도 연으로 따지면 4.7%에 그친다. 반대로 "1년 뒤 104만원"은 금액은 작아도 연 4%다. 금액의 크기가 아니라 기간당 수익률로 비교해야 한다. 적금, 저축성 보험, 분양 광고처럼 '총 몇 % 수익'을 내세우는 문구를 볼 때 이 계산이 쓸모 있다.

매달 쌓이는 돈, 매달 받는 돈

실제 저축은 한 번에 목돈을 넣기보다 매달 일정한 돈을 넣는다. 매달 \(C\)씩 넣으면 첫 달에 넣은 돈은 가장 오래 불어나고, 마지막 달에 넣은 돈은 거의 불어나지 않는다. 각 납입의 미래가치를 모두 더하면 등비수열의 합이 되고, 정리하면 하나의 식이 나온다. 일정한 금액이 일정한 간격으로 오가는 흐름을 금융에서는 연금(Annuity)이라 부른다. 국민연금 같은 제도(20장)와는 다른, 계산 용어로서의 연금이다.

왼쪽 식으로 매달 적립을 굴려 본다. 녹색은 내가 넣은 원금, 금색은 이자다. 처음에는 녹색이 대부분이지만 어느 해부터 금색이 녹색보다 커진다. 그 해를 찾아본다.

월 50만원, 연 5%면 26년째에 이자(약 1억 5,765만원)가 넣은 원금(1억 5,600만원)을 넘는다. 그 전까지는 대부분 내 돈이고, 그 뒤로는 돈이 번 돈이 더 크다. 적립액을 바꿔도 이 시점은 그대로다. 복리는 '얼마나 넣느냐'보다 '얼마나 오래 두느냐'에 먼저 반응한다.

이번에는 오른쪽 식, 거꾸로의 질문이다. 매달 일정한 돈을 일정 기간 꺼내 쓰려면 지금 목돈이 얼마 있어야 할까? 은퇴 뒤 생활비나 장학금, 매달 나오는 임대료의 값을 매길 때 쓰는 계산이다.

매달 받는 돈의 현재가치는 은퇴 설계의 출발점이다. 필요한 목돈이 생활비 합계보다 작은 것은 남은 돈이 그동안에도 일하기 때문이다. 반대로 수익률 가정이 1%p만 낮아도 필요한 목돈은 크게 는다. 21장에서 수익률이 흔들릴 때 이 계산이 어떻게 달라지는지 다시 본다.

일찍 시작하는 힘

복리 식 \(PV(1+r)^n\)에서 원금 \(PV\)는 곱해지는 한 숫자일 뿐이지만 시간 \(n\)은 지수에 있다. 원금을 두 배로 늘리면 결과도 두 배지만, 연 5%에서 시간을 14년 늘리면 결과가 두 배다. 젊을 때 넣는 돈은 액수가 작아도 오래 일한다. 세 사람을 비교해 본다. 모두 매달 50만원을 연 5%로 굴리고, 60세에 결과를 본다.

뒤집어 보면, 시작이 늦을수록 같은 목표를 위해 매달 넣어야 할 돈이 빠르게 커진다. 아래 그래프는 60세에 목표 금액을 모으려면 시작 나이별로 매달 얼마를 넣어야 하는지 보여 준다. 점을 오른쪽으로 끌어 시작을 미뤄 본다.

곡선이 오른쪽에서 가파르게 솟는 구간이 '시간이 원금보다 중요한 구간'의 뒷면이다. 젊을 때는 적은 돈으로도 목표에 닿고, 늦을수록 원금으로 시간을 메워야 한다. 다만 여기 쓴 5%는 교육용 가정이다. 실제 수익률은 해마다 흔들리고, 높은 기대수익에는 큰 흔들림이 따른다(12장).

복리는 빚에도 똑같이 작동한다

복리는 편을 가리지 않는다. 저축에서 이자가 이자를 낳듯, 빚에서는 갚지 않은 이자가 원금에 붙어 다시 이자를 낳는다. 공식은 똑같고 화살표의 방향만 다르다. 게다가 빚의 금리는 보통 저축 금리보다 훨씬 높다.

아래는 빚 하나를 매달 일정액씩 갚아 나가는 모습이다. 눈덩이의 크기가 잔액이다. 매달 갚는 돈을 줄여 첫 달 이자보다 작게 만들어 본다.

갚는 돈이 이자보다 작으면 원금은 줄지 않고, 모자란 이자가 원금에 붙어 빚이 스스로 자란다. 카드 리볼빙이나 최소 결제만 계속하는 습관이 위험한 이유다(9장). 우리나라는 대출 금리의 상한을 법으로 정해 둔다(법정 최고금리, 2026년 기준 연 20%). 그래도 연 20%면 72의 법칙으로 3.6년마다 두 배다. 기준금리가 오르면 변동금리 대출의 이자가 함께 오르는 과정은 5장에서, 대출을 갚는 여러 방식은 10장에서 다룬다.

한결의 가계부: 10년의 값

1장에서 한결에게 매달 남는 돈은 약 53만원이었다. 그중 50만원을 연 5%(교육용 가정)로 매달 굴린다고 하자. 27세에 바로 시작하는 길과, "지금은 여유가 없으니 10년 뒤에"라며 37세에 시작하는 길을 나란히 달려 본다.